Очень красивая “простая” геометрическая задача, практически совсем без формул и вычислений.
Итак, сама задача:
Чему равна длина стороны правильного 6-угольника, вписанного в окружность радиуса R?
Решение:
Рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом R и вписанный в неё 6-угольник ABCDEF.
Требуется найти длину любой из сторон данного 6-угольника, так как по определению правильного 6-угольника, все его стороны равны и все углы при смежных сторонах также равны.
1. Для начала проведем из центра окружности (точка О) отрезки к вершинам данного 6-угольника. Эти отрезки делят наш 6-угольник на 6 треугольников.
Так как данный 6-угольник правильный и вписан в данную окружность, то все его вершины лежат на данной окружности.
Следовательно, все проведенные отрезки являются радиусами данной окружности, а их длины равны между собой и равны |AO| = R.
2. Рассмотрим теперь два смежных получившихся треугольника, например AOB и BOC.
У этих треугольников боковые стороны AO, BO и CO – равны, так как это радиусы данной окружности.
Следовательно, это – равнобедренные треугольники.
А значит, углы при основании каждого из данных треугольников равны:
Угол OAB = углу OBA , а угол OBC = углу OCB .
Кроме того, основания этих треугольников AB и BC равны, так как это стороны правильного 6-угольника.
Таким образом, получается, что эти два треугольника равны по трем сторонам.
Следовательно, все соответствующие углы этих треугольников также равны между собой.
То есть, угол OAB = углу OBC , угол OBA = углу OCB , а угол при вершине AOB = углу BOC при вершине другого треугольника.
Точно так же можно доказать, что все полученные треугольники равны меду собой, а все углы при центре окружности (углы при вершинах этих треугольников) – также равны.
Таким образом, получаем, что полный угол (360о) вокруг центра окружности (O) делится поровну на 6 углов, каждый из которых равен:
360о / 6 = 60о
То есть, угол при вершине каждого из получившихся равнобедренных треугольников равен 60о.
3. Теперь рассмотрим любой из получившихся равнобедренных треугольников, например AOB.
У этого треугольника угол при вершине = 60о, а два других угла равны меду собой (угол OAB = углу OBA), следовательно, по теореме о сумме углов треугольника каждый из этих углов равен:
OAB = ( 180о – 60о ) / 2 = 60о
Получаем, что в нашем треугольнике (как и во всех остальных) три одинаковых угла (60о). А три одинаковых угла может быть только у равностороннего треугольника.
То есть, в этом треугольнике все стороны равны, и они равны радиусу R:
|AB| = |AO| = |BO| = R.
Ответ:
Длина стороны нашего правильного 6-угольника равна R.
Таким образом, мы доказали, что сторона правильного 6-угольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.
По-моему, очень красивая задача!
Поделиться:
Пишите нам в комментариях, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать: