«Пифагоровы штаны — на все стороны равны.»
(школьная шутка)
Теорема Пифагора — одна из важнейших теорем геометрии. Она устанавливает связи между длинами сторон в любом прямоугольном треугольнике.
Считается, что Пифагор просто искал тройки целых чисел, подобных сторонам так называемого «египетского» треугольника: 3 — 4 — 5. Если построить треугольник со сторонами такой длины, он обязательно будет прямоугольным. Этим пользовались еще древние египтяне, поэтому этот треугольник и получил название египетского.
Длины сторон этого треугольника соотносятся между собой так, что сумма квадратов коротких сторон (катетов) равна квадрату длинной стороны (гипотенузы):
32 + 42 = 52 или 9 + 16 = 25
В итоге своих поисков Пифагор обнаружил, что любой треугольник, стороны которого соотносятся подобным образом является прямоугольным.
Считается, что это и есть исходная формулировка теоремы Пифагора:
Любой треугольник, в котором сумма квадратов двух коротких сторон равна квадрату длинной стороны, является прямоугольным.
В настоящее время в математике используется другая (обратная) формулировка теоремы:
В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В настоящее время существует не менее 400 доказательств теоремы Пифагора.
Нам известно, что квадрат длины отрезка — есть не что иное, как площадь квадрата, стороной которого является этот отрезок. Вот так и появляется рисунок «пифагоровых штанов»:
Здесь площадь квадрата, построенного на стороне с, согласно теореме Пифагора, равна площадям квадратов, построенных на сторонах a и b, поскольку данный треугольник прямоугольный.
Хотелось бы остановиться на одном простом математическом доказательстве и привести несколько графических доказательств-пояснений.
Самое простое доказательство теоремы Пифагора основано на подобии фигур.
Вспомним: подобными называются фигуры, все линейные размеры которых пропорциональны, а соответствующие углы равны меду собой.
Возьмем треугольник ABC с прямым углом С и проведем в нем высоту CH. Эта высота будет перпендикулярна основанию AB. В результате разбиения этой высотой исходного треугольника мы получим два подобных треугольника, каждый из которых, кроме того, подобен исходному треугольнику в силу равенства углов:
Треугольник ABC подобен треугольнику BCH и треугольнику ACH, так как:
- угол H у них прямой (так как CH — это высота),
- углы A и B — сохраняются,
- а угол ACH равен углу B, так как сумма углов треугольника равна 180о,
следовательно:
С + A + B = 180о (С = 90о)
и также:
H + A + ACH = 180о (H = 90о)
Получаем:
B = 180о — 90о — A
и
ACH = 180о — 90о — A
То есть, ACH =B.
Точно также равны углы A и BCH.
Раз эти треугольники подобны, то для всех их линейных величин действует постоянное отношение подобия:
в то же время:
избавляемся от знаменателей, сохраняя равенство:
b2 = с * AH
a2 = с * BH
но нас интересует сумма a2 + b2
a2 + b2 = с * AH + с * BH
выносим с за скобки и получаем:
a2 + b2 = с * ( AH + BH )
но AH + BH = с, следовательно:
a2 + b2 = с2
что нам и требовалось доказать.
А вот пара графических объяснений-доказательств через площади (равные квадратам сторон треугольников)
Здесь мы видим, как суммируются площади (квадраты сторон), что в итоге дает ту же самую формулу:
a2 + b2 = с2
Или, то же самое — на динамическом чертеже:
Вот такие «пифагоровы штаны»!
Поделиться:
Пишите в комментариях свои вопросы по данной теме, а также, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать: