Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

«Пифагоровы штаны — на все стороны равны.»
(школьная шутка)

Теорема Пифагора — одна из важнейших теорем геометрии. Она устанавливает связи между длинами сторон в любом прямоугольном треугольнике.

Считается, что Пифагор просто искал тройки целых чисел, подобных сторонам так называемого «египетского» треугольника: 3 — 4 — 5. Если построить треугольник со сторонами такой длины, он обязательно будет прямоугольным. Этим пользовались еще древние египтяне, поэтому этот треугольник и получил название египетского.

Длины сторон этого треугольника соотносятся между собой так, что сумма квадратов коротких сторон (катетов) равна квадрату длинной стороны (гипотенузы):

32 + 42 = 52 или 9 + 16 = 25

В итоге своих поисков Пифагор обнаружил, что любой треугольник, стороны которого соотносятся подобным образом является прямоугольным.

Считается, что это и есть исходная формулировка теоремы Пифагора:

Любой треугольник, в котором сумма квадратов двух коротких сторон равна квадрату длинной стороны, является прямоугольным.

В настоящее время в математике используется другая (обратная) формулировка теоремы:

В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В настоящее время существует не менее 400 доказательств теоремы Пифагора.

Нам известно, что квадрат длины отрезка — есть ни что иное как площадь квадрата, стороной которого является этот отрезок. Вот так и появляется рисунок «пифагоровых штанов»:

Здесь площадь квадрата, построенного на стороне с согласно теореме Пифагора равна площадям квадратов, построенных на сторонах a и b, поскольку данный треугольник прямоугольный.

Хотелось бы остановиться на одном простом математическом доказательстве и привести несколько графических доказательств-пояснений.

Самое простое доказательство теоремы Пифагора основано на подобии фигур.

Вспомним: подобными называются фигуры, все размеры которых пропорциональны, а все углы, будут равны.

Возьмем треугольник ABC с прямым углом С и проведем в нем высоту CH. Эта высота будет перпендикулярна основанию AB. В результате разбиения этой высотой исходного треугольника мы получим два подобных треугольника, подобных исходному в силу равенства углов:

Треугольник ABC подобен треугольнику BCH и треугольнику ACH, так как:

  • угол H у них прямой (CH — это высота),
  • углы A и B — сохраняются,
  • а угол ACH равен углу B, так как сумма углов треугольника равна 180о, следовательно:

С + A + B = 180о  (С = 90о)

и также:

H + A + ACH = 180о  (H = 90о)

Получаем:

B = 180о — 90о — A

и

ACH = 180о — 90о — A

То есть, ACH =B.

Точно так же равны углы A и BCH.

Раз эти треугольники подобны, то для всех их линейных величин действует постоянное отношение подобия:

\frac{b}{c} = \frac{AH}{b}

в то же время:

\frac{a}{c} = \frac{BH}{a}

избавляемся от знаменателей, сохраняя равенство:

b2 = с * AH

a2 = с * BH

но нас интересует сумма a2 + b2

a2 + b= с * AH + с * BH

выносим с за скобки:

a2 + b= с * ( AH + BH )

но AH + BH = с, следовательно:

a2 + b= с2

что нам и требовалось доказать.


А вот пара графических объяснений-доказательств через площади (равные квадратам сторон треугольников)

Здесь мы видим, как суммируются площади (квадраты сторон), что в итоге дает ту же самую формулу:

a2 + b= с2

Или, то же самое — на динамическом чертеже:

 

Вот такие «пифагоровы штаны»!


Поделиться: 


Пишите в комментариях свои вопросы по данной теме, а также, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать:

Мы используем cookie-файлы для наилучшего представления нашего сайта. Продолжая использовать rubasic.ru, вы соглашаетесь на использование файлов cookie.
Понятно