Теорема Пифагора

"Пифагоровы штаны - на все стороны равны." (школьная шутка)

Теорема Пифагора - одна из важнейших теорем геометрии. Она устанавливает связи между длинами сторон в любом прямоугольном треугольнике. Считается, что Пифагор просто искал тройки целых чисел, подобных сторонам так называемого "египетского" треугольника: 3 - 4 - 5. Если построить треугольник со сторонами такой длины, он обязательно будет прямоугольным. Этим пользовались еще древние египтяне, поэтому этот треугольник и получил название египетского. Длины сторон этого треугольника соотносятся между собой так, что сумма квадратов коротких сторон (катетов) равна квадрату длинной стороны (гипотенузы):

3² + 4² = 5²   или   9 + 16 = 25

В итоге своих поисков Пифагор обнаружил, что любой треугольник, стороны которого соотносятся подобным образом является прямоугольным. Считается, что это и есть исходная формулировка теоремы Пифагора:

Любой треугольник, в котором сумма квадратов двух коротких сторон равна квадрату длинной стороны, является прямоугольным.

В настоящее время в математике используется другая (обратная) формулировка теоремы:

В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В настоящее время существует не менее 400 доказательств теоремы Пифагора. Нам известно, что квадрат длины отрезка - есть не что иное, как площадь квадрата, стороной которого является этот отрезок. Вот так и появляется рисунок "пифагоровых штанов": Здесь площадь квадрата, построенного на стороне с, согласно теореме Пифагора, равна площадям квадратов, построенных на сторонах a и b, поскольку данный треугольник прямоугольный. Хотелось бы остановиться на одном простом математическом доказательстве и привести несколько графических доказательств-пояснений. Самое простое доказательство теоремы Пифагора основано на подобии фигур. Вспомним: подобными называются фигуры, все линейные размеры которых пропорциональны, а соответствующие углы равны меду собой. Возьмем треугольник ABC с прямым углом С и проведем в нем высоту CH. Эта высота будет перпендикулярна основанию AB. В результате разбиения этой высотой исходного треугольника мы получим два подобных треугольника, каждый из которых, кроме того, подобен исходному треугольнику в силу равенства углов: Треугольник ABC подобен треугольнику BCH и треугольнику ACH, так как:

• угол H у них прямой (так как CH - это высота),
• углы A и B - сохраняются,
• а угол ACH равен углу B, так как сумма углов треугольника равна 180^о,

следовательно:

С + A + B = 180^о  (С = 90^о)

и также:

H + A + ACH = 180^о  (H = 90^о)

Получаем:

B = 180^о - 90^о - A

и

ACH = 180^о - 90^о - A

То есть, ACH =B.

Точно также равны углы A и BCH.

Раз эти треугольники подобны, то для всех их линейных величин действует постоянное отношение подобия: в то же время: избавляемся от знаменателей, сохраняя равенство: b² = с * AH a² = с * BH но нас интересует сумма a² + b² a² + b² = с * AH + с * BH выносим с за скобки и получаем: a² + b² = с * ( AH + BH ) но AH + BH = с, следовательно: a² + b² = с² что нам и требовалось доказать.

А вот пара графических объяснений-доказательств через площади (равные квадратам сторон треугольников) Здесь мы видим, как суммируются площади (квадраты сторон), что в итоге дает ту же самую формулу: a² + b² = с² Или, то же самое - на динамическом чертеже:   Вот такие "пифагоровы штаны"!

Поделиться: 

Пишите в комментариях свои вопросы по данной теме, а также, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать: