Доказательство "без доказательства"

Все знают, что

Сумма углов в любом треугольнике равна 180^о или $\pi$ (“пи”) радиан.

Но далеко не все помнят, что это не аксиома, а теорема, которая требует доказательства.

Доказательство этой теоремы очень простое и красивое, но совсем не очевидное. В своё время в школе меня потряс такой способ доказательства. Это доказательство называется доказательством по построению. Разумеется, построение должно проводиться в строгом соответствии с аксиомами геометрии: только циркулем и линейкой без делений, иначе его нельзя будет считать верным и использовать в качестве доказательства. Правда, в данном случае нам даже циркуль не нужен – мы будем просто продолжать отрезки прямых линий.

Итак, возьмем любой треугольник ABC с углами $\alpha \beta \gamma$ (“альфа”, “бэтта” и “гамма”)

Через вершину А проведем прямую, параллельную основанию треугольника BC

Теперь продолжим стороны треугольника BA и CA лучами

Мы увидим, что лучи образовали угол $\delta$ (“дельта”), вертикальный углу $\alpha$ (“альфа”)

Стороны любых вертикальных углов попарно параллельны (являются продолжением прямых или лучей, образующих эти углы) и сонаправлены, поэтому вертикальные углы равны. Следовательно, углы $\delta$ (“дельта”) и $\alpha$ (“альфа”) равны между собой (как вертикальные).

Теперь рассмотрим другие два угла, образовавшиеся при проведении лучей и линии, параллельной основанию треугольника.

Угол $\varepsilon$ (“эпсилон”) образован прямой, параллельной основанию треугольника и продолжением стороны AB, то есть, его стороны сонаправлены сторонам угла $\beta$ (“бэтта”). Следовательно, он равен углу $\beta$ (“бэтта”).

Или по-другому: рассмотрим неотмеченный угол, вертикальный углу $\varepsilon$ (“эпсилон”). Он является внутренним накрест лежащим углом для угла $\beta$ (“бэтта”), и, следовательно, равен ему. А так как он вертикальный для угла $\varepsilon$ (“эпсилон”), следовательно, он равен и ему тоже. Мы получили три одинаковых угла. Следовательно, угол $\varepsilon$ (“эпсилон”) равен углу $\beta$ (“бэтта”).

Точно так же, угол $\zeta$ (“зета”) образован прямой, параллельной основанию треугольника и продолжением стороны АС. Следовательно, он равен углу

$γ$

(“гамма”).

Мы получили три новых угла, равных трем углам нашего треугольника.

Теперь обратим внимание, что все эти три угла попарно смежные (имеют по одной общей стороне), из чего следует, что между ними нет разрывов или перекрытий. Это значит, что если мы измерим на чертеже величину двух таких углов, то результат измерения будет равен сумме величин самих углов. Это свойство любых углов, имеющих общую сторону (смежных) углов.

Хочется отметить, что здесь мы говорим о “смежности” углов как о “соседстве”, и не имеем ввиду классическое определение смежности углов.

Таким образом, мы получили три смежных угла, образующих вместе развернутый угол, величина которого равна 180^о или $\pi$ (“пи”) радиан.

При этом каждый из этих углов равен соответствующему углу нашего треугольника, который мы выбрали произвольно.

Следовательно, сумма углов в любом треугольнике равна 180^о или $\pi$ (“пи”) радиан.

Всё доказательство этой теоремы построено на простейшем чертеже. По-моему, это очень изящно.

Пишите в комментариях свои вопросы по данной теме, а также, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать: