Квадратное уравнение и трёхчлен

Квадратное уравнение и трёхчлен

Многие современные учащиеся, не имея стройной системы знаний, в какой-то момент теряют дальнейшее понимание в процессе обучения и далее обращаются со своими знаниями совершенно механически — применяют их, фактически не понимая, что, а самое главное, почему они делают.

Например, понимание того, что квадратное уравнение (квадратный трехчлен) легко превращается в произведение двух линейных (и обратно), разумеется, при знании его корней — не только отсутствует у многих, но и не поддается пониманию.

А ведь все, казалось бы, просто:

У нас есть уравнение (равенство)

ax2 + bx + c = 0

решая которое, мы находим такие значения переменной x (x1 и x2), при которых это равенство становится тождеством.

В то же время, мы знаем, что при перемножении двух линейных двучленов получается квадратный трехчлен. Это — элементарное раскрытие скобок с последующей группировкой слагаемых. Разумеется, надо помнить, что вычитание — это просто сложение с отрицательным числом:
a — b = a + (-b).

Таким образом, мы получаем, что следующее равенство:

(x — x1)(x — x2) = 0

эквивалентно исходному уравнению при условии, что x1 и x2 — корни этого уравнения.

При умножении и раскрытии скобок мы получим квадратный трехчлен с какими-то коэффициентами, при этом, коэффициент при x2 будет равен 1.

x2 — (x1+x2)x + x1x2 = 0

Так как мы рассматривали исходное квадратное уравнение с коэффициентом a, равном любому числу, отличному от 0 (иначе уравнение просто не будет квадратным — превратится в линейное), а не только 1, то всё, что нам остается сделать, это домножить получившийся многочлен и само произведение на это число.

a(x — x1)(x — x2) = 0

ax2 — a(x1+x2)x + ax1x2 = 0

Что, кстати, никак не влияет на значения самих корней уравнения (на что 0 не умножай — все равно получится 0).

Заметим, что при делении исходного уравнения на а (левой и правой его частей) не изменяется только само уравнение (и корни его сохраняются), а вот многочлен и квадратичная функция, разумеется, меняются.

Это можно хорошо увидеть на графике квадратичной функции (очень удобно это делать в программе GeoGebra): меняя множитель, определяющий значение коэффициента a, мы получим бесконечное число парабол, проходящих через две точки, которые являются корнями нашего уравнения.

То есть, коэффициент а никак не влияет на значения корней уравнения: если все уравнение разделить на а — с точки зрения корней уравнения ничего не изменится.

Итак:

a(x — x1)(x — x2)  =  ax2 — a(x1+x2)x + ax1x2

Теперь, просто заменяя:

b = a(x1+x2)

c = ax1x2

мы получим в итоге наш исходный квадратный трехчлен:

ax2 — a(x1+x2)x + ax1x2  =  ax2 + bx + c

Таким образом, мы не только прояснили для себя связь между исходным квадратным трехчленом (квадратным уравнением) и произведением двух линейных двучленов, полученных из корней этого уравнения, но также и определили значения коэффициентов квадратного уравнения через его корни.

И таких вопросов, простых, но непонятных или просто плохо объясненных, в школьном курсе по различным учебным предметам оказывается очень много.

Поделиться: 

Пишите нам в комментариях, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать:

Мы используем cookie-файлы для наилучшего представления нашего сайта. Продолжая использовать rubasic.ru, вы соглашаетесь на использование файлов cookie.
Понятно