В школе на уроках математики всегда говорят: «на ноль делить нельзя!» При этом мало кто пытается объяснить, почему. Что такого совершил ноль, что на него ни в коем случае нельзя делить?
Давайте попробуем разобраться, в чем же тут дело?
На самом деле достаточно просто попробовать делить какое-нибудь число, например 1, на числа, приближающиеся к 0 — числа, меньшие единицы:
И так далее: чем ближе мы будем приближаться к 0, тем больше будут получаться результаты. При этом скорость роста получающихся результатов будет стремительно возрастать по мере приближения делителя к 0.
Что касается знака, то здесь тоже довольно сложная ситуация: если при делении на положительные числа результаты будут возрастать, то при делении на отрицательные — убывать, причём точно так же стремительно. На графике это можно представить следующим образом:
На самом деле это просто часть обычной гиперболы, графика функции y = 1/x в области близкой к 0, где у этой функции (и графика, разумеется) — неустранимый разрыв:
У гиперболы вообще неустранимые разрывы там, где она подходит к «нулям» (к осям графика).
А так как вещественных чисел бесконечно много на любом отрезке числовой прямой, то чем ближе мы будем приближаться к нулю с двух сторон (из области положительных чисел и из области отрицательных), тем больше будет разница между получающимися значениями. Как бы мы ни старались приблизиться к 0, всё равно будет оставаться ещё бесконечное количество бесконечно малых дробей, а разрыв будет продолжать стремительно нарастать.
То есть, это будет не просто какая-то неопределенность (неопределенность в районе какой-то точки — числа), это будет неопределенность, простирающаяся от минус бесконечности до плюс бесконечности — «самая неопределенная из всех возможных неопределенностей», а следовательно, несуществующая.
Можно попробовать рассмотреть варианты рассуждений с точки зрения математических доказательств:
1)
Пусть
a ≠ 0
Предположим, что
a : 0 = b
и, следовательно, b — какое-то определенное число (≠0). Тогда
a = b * 0
но любое число, умноженное на 0 (повторенное нисколько раз) — всегда равно только нулю. Следовательно, a — должно быть равно 0. Но мы изначально задали a ≠ 0.
Получается абсурд.
На самом деле, невозможно найти такое число b, чтобы
a : 0 = b
Такого числа просто не существует, в частности, потому что b*0 — всегда равно 0, а не a (отличное от 0), как нам бы этого хотелось.
2)
Но даже если взять a = 0 (0/0):
0/0 = b
мы все равно не сможем найти b, потому что любое число при умножении на 0 всегда равно 0. То есть, во-первых, у нас изначально
0/0 = 0 * 1/0
что вроде бы должно быть равно 0, а во-вторых
0/0 = b
откуда следует
0 = b*0
И мы получаем точно такую же неопределённость: b — в данной ситуации может быть равно чему угодно: от минус бесконечности до плюс бесконечности — равенство всегда сохранится. Но ведь результатом конкретной операции не может быть ЛЮБОЕ число — оно должно быть таким же конкретным и однозначным, как и сама операция (иначе это не математическая операция, а ерунда какая-то). Следовательно, и здесь получается абсурд: искали одно конкретное число, а получили — любое число на числовой прямой.
Остается только заметить, что пропуск в математическом выражении проверки на возможное деление на ноль грозит как минимум математическими парадоксами (например, можно приравнять что угодно чему угодно, если и то и другое делится на 0), а как максимум — катастрофами: особенно когда это касается, например, программирования при управлении какими-либо установками или системами.
Поэтому в математике, особенно в алгебре всегда требуется проверять знаменатель (или делитель) на равенство нулю и исключать такие варианты из области определения.
Есть ещё одно объяснение, которое многое ставит на свои места: ноль — принципиально отличается от всех остальных чисел. Если любое другое, пусть даже сколь угодно малое число обозначает «хоть что-то» (очень маленькая дробь), то 0 — не обозначает НИЧЕГО. Можно даже сказать, что ноль — это полное отсутствие какого-либо числа. Поэтому к нему зачастую просто неприменимы законы математики, относящиеся ко всем остальным числам.
На самом деле в некоторых случаях оказывается, что вычислить результат операции с 0 невозможно, и тогда математики поступают так: для 0 просто ПРИНИМАЮТ некоторое значение в качестве результата этой операции (например результат вычисления a0 напрямую вычислить невозможно, но принимается, что любое число (за исключением 0) в нулевой степени равно 1).
Поэтому:
- На 0 делить нельзя.
- Результат деления на 0 — всегда не определён.
- В случаях, когда появляется деление на заранее неопределённую величину необходимо проверять возможность деления на 0 и исключать такие случаи.
Поделиться:
Пишите нам в комментариях, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать: