Вот еще одна простая и довольно легкая теорема.
Любой вписанный треугольник, построенный на диаметре является прямоугольным.
Давайте докажем эту теорему.
Для этого построим любую окружность с центром в точке O, проведем в ней произвольным образом диаметр AB и возьмем любую точку С, лежащую на данной окружности.
Точка O принадлежит отрезку AB, потому что это - диаметр окружности, а O - её центр.
Теперь построим треугольник ABC, который будет вписан в данную окружность, так как все его вершины лежат на окружности.
Теперь проведем отрезок из центра окружности (O) в точку С.
Этот отрезок является радиусом данной окружности. Кроме того, этот отрезок является медианой нашего треугольника, потому что точка O (центр окружности) делит диаметр на два равных отрезка (радиуса). И кроме того, все три отрезка: AO, CO и BO равны, так как все это - радиусы нашей окружности. Рассмотрим теперь получившиеся треугольники. Каждый из них имеет пару сторон равной длины, следовательно, это - равнобедренные треугольники. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Таким образом, в треугольнике AOC два угла при основании (стороне AC) равны между собой.
Точно также в треугольнике COB два угла при основании CB равны между собой.
Обозначим равные углы при основании первого треугольника (AOC) , а углы при основании второго треугольника (СOB) - .
Сумма углов треугольника равна 180о ( радиан). Мы здесь имеем два треугольника, сумма всех углов которых равна 360о ( радиан).
Тогда сумма углов первого треугольника:
= 180o
А для второго треугольника:
= 180o
Сумма углов двух треугольников равна 360о.
При этом мы имеем два смежных угла при центре окружности, которые образуют развернутый угол. Значит, сумма этих двух углов равна 180o.
Получаем:
= 360о
при этом
= 180o
Таким образом:
180o= 360о
Откуда:
2() = 180o
Следовательно,
= 90o
Но угол ACB образован двумя смежными углами и . А их сумма равна 90o. Следовательно, этот угол - прямой.
Так как мы брали произвольную окружность и точки на ней, то это верно для любого треугольника, построенного на диаметре.
Итак, мы доказали, что любой вписанный треугольник, построенный на диаметре является прямоугольным.
Поделиться:
Пишите в комментариях свои вопросы по данной теме, а также, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать:
Мы используем cookie-файлы для наилучшего представления нашего сайта. Продолжая использовать rubasic.ru, вы соглашаетесь на использование файлов cookie.
Теперь проведем отрезок из центра окружности (O) в точку С.
Этот отрезок является радиусом данной окружности. Кроме того, этот отрезок является медианой нашего треугольника, потому что точка O (центр окружности) делит диаметр на два равных отрезка (радиуса). И кроме того, все три отрезка: AO, CO и BO равны, так как все это - радиусы нашей окружности. Рассмотрим теперь получившиеся треугольники. Каждый из них имеет пару сторон равной длины, следовательно, это - равнобедренные треугольники. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Таким образом, в треугольнике AOC два угла при основании (стороне AC) равны между собой.
Точно также в треугольнике COB два угла при основании CB равны между собой.
Обозначим равные углы при основании первого треугольника (AOC) 
А для второго треугольника:
При этом мы имеем два смежных угла при центре окружности, которые образуют развернутый угол. Значит, сумма этих двух углов равна 180o.
Получаем:
Так как мы брали произвольную окружность и точки на ней, то это верно для любого треугольника, построенного на диаметре.
Итак, мы доказали, что любой вписанный треугольник, построенный на диаметре является прямоугольным.