Теорема о вписанном треугольнике

Теорема о вписанном треугольнике

Вот еще одна простая и довольно легкая теорема.

Любой вписанный треугольник, построенный на диаметре является прямоугольным.

Давайте докажем эту теорему.

Для этого построим любую окружность с центром в точке O, проведем в ней произвольным образом диаметр AB и возьмем любую точку С, лежащую на данной окружности.

Точка O принадлежит отрезку AB, потому что это — диаметр окружности, а O — её центр.

Теперь построим треугольник ABC, который будет вписан в данную окружность, так как все его вершины лежат на окружности.

Теперь проведем отрезок из центра окружности (O) в точку С.

Этот отрезок является радиусом данной окружности. Кроме того, этот отрезок является медианой нашего треугольника, потому что точка O (центр окружности) делит диаметр на два равных отрезка (радиуса). И кроме того, все три отрезка: AO, CO и BO равны, так как все это — радиусы нашей окружности. Рассмотрим теперь получившиеся треугольники. Каждый из них имеет пару сторон равной длины, следовательно, это — равнобедренные треугольники. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Таким образом, в треугольнике AOC два угла при основании (стороне AC)  равны между собой.

Точно также в треугольнике COB два угла при основании CB равны между собой.

Обозначим равные углы при основании первого треугольника (AOC) \alpha, а углы при основании второго треугольника (СOB) — \beta.

Сумма углов треугольника равна 180о (\pi радиан). Мы здесь имеем два треугольника, сумма всех углов которых равна 360о (2\pi радиан).

Тогда сумма углов первого треугольника:

\alpha + \alpha + \angle AOC = 180o

А для второго треугольника:

\beta + \beta + \angle COB = 180o

Сумма углов двух треугольников равна 360о.

При этом мы имеем два смежных угла при центре окружности, которые образуют развернутый угол. Значит, сумма этих двух углов равна 180o.

Получаем:

\alpha + \alpha + \angle AOC + \beta + \beta + \angle COB = 360о

при этом

\angle AOC + \angle COB = 180o

Таким образом:

2 \alpha + 2 \beta + 180o = 360о

Откуда:

2(\alpha + \beta) = 180o

Следовательно,

\alpha + \beta = 90o

Но угол ACB образован двумя смежными углами \alpha и \beta. А их сумма равна 90o. Следовательно, этот угол — прямой.

Так как мы брали произвольную окружность и точки на ней, то это верно для любого треугольника.

Итак, мы доказали, что любой вписанный треугольник, построенный на диаметре является прямоугольным.


Поделиться: 


Пишите в комментариях свои вопросы по данной теме, а также, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать:

Мы используем cookie-файлы для наилучшего представления нашего сайта. Продолжая использовать rubasic.ru, вы соглашаетесь на использование файлов cookie.
Понятно