Теорема о вписанном треугольнике

Вот еще одна простая и довольно легкая теорема.

Любой вписанный треугольник, построенный на диаметре является прямоугольным.

Давайте докажем эту теорему.

Для этого построим любую окружность с центром в точке O, проведем в ней произвольным образом диаметр AB и возьмем любую точку С, лежащую на данной окружности.

Точка O принадлежит отрезку AB, потому что это — диаметр окружности, а O — её центр.

Теперь построим треугольник ABC, который будет вписан в данную окружность, так как все его вершины лежат на окружности.

Теперь проведем отрезок из центра окружности (O) в точку С.

Этот отрезок является радиусом данной окружности. Кроме того, этот отрезок является медианой нашего треугольника, потому что точка O (центр окружности) делит диаметр на два равных отрезка (радиуса). И кроме того, все три отрезка: AO, CO и BO равны, так как все это — радиусы нашей окружности. Рассмотрим теперь получившиеся треугольники. Каждый из них имеет пару сторон равной длины, следовательно, это — равнобедренные треугольники. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Таким образом, в треугольнике AOC два угла при основании (стороне AC) равны между собой.

Точно также в треугольнике COB два угла при основании CB равны между собой.

Обозначим равные углы при основании первого треугольника (AOC) $\alpha$ , а углы при основании второго треугольника (СOB) — $\beta$ .

Сумма углов треугольника равна 180^о ( $\pi$ радиан). Мы здесь имеем два треугольника, сумма всех углов которых равна 360^о ( $2\pi$ радиан).

Тогда сумма углов первого треугольника:

$\alpha + \alpha + \angle AOC$ = 180^o

А для второго треугольника:

$\beta + \beta + \angle COB$ = 180^o

Сумма углов двух треугольников равна 360^о.

При этом мы имеем два смежных угла при центре окружности, которые образуют развернутый угол. Значит, сумма этих двух углов равна 180^o.

Получаем:

$\alpha + \alpha + \angle AOC + \beta + \beta + \angle COB$ = 360^о

при этом

$\angle AOC + \angle COB$ = 180^o

Таким образом:

$2 \alpha + 2 \beta +$ 180^o= 360^о

Откуда:

2( $\alpha + \beta$ ) = 180^o

Следовательно,

$\alpha + \beta$ = 90^o

Но угол ACB образован двумя смежными углами $\alpha$ и $\beta$ . А их сумма равна 90^o. Следовательно, этот угол — прямой.

Так как мы брали произвольную окружность и точки на ней, то это верно для любого треугольника, построенного на диаметре.

Итак, мы доказали, что любой вписанный треугольник, построенный на диаметре является прямоугольным.

Пишите в комментариях свои вопросы по данной теме, а также, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать: