Что такое число? Число — это способ записи…. чего? Чтобы понять это, нужно начать с того, как появились числа. А появились числа тогда, когда люди начали что-то считать — подсчитывать количество чего-то.
Единица
И считали они так: один, два, три…
При этом они загибали пальцы, перекладывали камушки, раковины, палочки, ставя в соответствие каждому подсчитываемому объекту одну палочку или один камешек.
При этом люди договорились, что если они считают баранов с помощью камешков, то они просто считают количество баранов, и всё: не важно, сколько весит каждый баран или сколько на нем шерсти, какие у него рога, и есть ли они вообще, молодой он или старый… Хотя, ягнят, я думаю, считали отдельно, хотя бы потому что они очень маленькие в сравнении со взрослыми баранами.
Точно так же, для такого способа подсчета пришлось договориться, что нам совершенно не важно, какой формы, цвета, размера и веса каждый камешек, или — какой длины и толщины каждая палочка. Важно только то, что одному барану (не важно какому — то есть, абстрактному) соответствует один, (тоже не важно какой) камешек или палочка.
Единица — это абстрактный объект, который соответствует одному целому реальному объекту при подсчете количества этих объектов.
Когда люди научились царапать камень, рисовать черточки на глине, песке и т.п. они стали вместо камешков обозначать баранов или другие подсчитываемые объекты точками или черточками. И пока не было придумано ничего другого, результаты подсчётов записывались просто количеством расположенных рядом черточек. Вот так:
| | | | | | | | | | | | | |
Здесь с помощью чёрточек записано число 13.
То есть, число — это просто способ записи результатов подсчёта (мы записываем «число» объектов или их количество).
В математике для удобства счёта решили использовать такое универсальное понятие как единица.
Главное свойство математической единицы очень простое:
Любая единица всегда равна любой другой единице.
1 = 1
чего, в окружающем нас реальном мире, конечно же не бывает: все, даже самые «одинаковые» объекты хоть чем-то да отличаются, хоть на один атом. Поэтому понятие единицы — абстрактное, оторванное от реальности. Математическая единица — это всего лишь плод человеческого воображения.
Число в математике — это способ записи количества единиц.
Также, про Единицу можно почитать вот в этом уроке.
Числа
Если записывать все результаты подсчетов (числа) в виде рядов чёрточек, то может не хватить песка даже на всём пляже — ведь числа-то бывают очень большие.
Поэтому в какой-то момент решили использовать значки, чтобы обозначать различные количества чёрточек (единиц). Эти значки — и есть цифры. Можно считать, что цифры — это буквы языка математики.
Например, древние римляне использовали в качестве цифр некоторые буквы латинского алфавита:
единицу обозначали буквой I
пятёрку — буквой V
а десятку — X
Таким образом:
I — это число 1
III — число 3
V — число 5
XVI — число 16
При этом, чтобы не повторять одну цифру по 4 раза решили вычитать меньшую цифру, если она стоит слева от большей:
IV — это число 4
IX — это 9
Но у римской системы счисления были и некоторые другие недостатки, делавшие её не слишком удобной.
У древних славян запись цифр также была основана на символах алфавита.
Но у римской, славянской и прочих систем счисления были недостатки, делавшие их не слишком удобными, поэтому со временем все эти системы вытеснила более прогрессивная — десятичная позиционная система счисления, использующая привычные нам арабские цифры.
Арабских цифр всего 10,и мы их очень хорошо знаем:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Каждая из них обозначает своё количество единиц (или соответствующих им объектов).
0 — ни одной единицы
1 — одна единица
2 — две единицы
3 — три единицы
и так далее…
… до 9 единиц. А дальше?
А дальше в действие вступает в силу суть понятия «позиционный» для данной системы счисления. Та десятичная система счисления (система записи чисел), которой мы привыкли пользоваться, является позиционной потому что в ней именно от позиции цифры в записи числа напрямую зависит, какое количество единиц эта цифра обозначает.
Что это значит? Если цифра «3» стоит в записи числа в крайней правой позиции, она обозначает три единицы, но стоит ее передвинуть на одну позицию влево, и она станет обозначать уже не три единицы, а три десятка единиц, независимо от того, что стоит слева или справа от нашей цифры.
_3 — три единицы
_3_ — тридцать единиц
Здесь подчеркиванием _ обозначены разряды, в которых могут стоять какие-то цифры.
И так далее: в третьей позиции это будут уже три сотни единиц, в четвертой — три тысячи…
Позиция цифры в записи числа называется разрядом.
С помощью цифр (в отличие от чёрточек) мы можем кратко записать посчитанное количество единиц.
Вместо того чтобы писать:
| | | | | | | | | | | | |
или:
1111111111111
в позиционной десятичной системе счисления пишут просто:
13
Кстати, каждое записанное с помощью цифр число можно воспринимать как некое математическое слово. Вы помните, что слова могут состоять и всего лишь из одной буквы.
Запись чисел
Как кучка палочек превращается в десятичное число?
Позиция цифры в числе называется разрядом. Суть разрядов в том, что цифра, стоящая в соответствующем разряде обозначает количество единиц данного разряда. Так как у нас десятичная система счисления, то единицы соседних разрядов отличаются друг от друга в 10 раз. Например, единица разряда десятков в 10 раз больше единицы разряда единиц, и в 10 раз меньше разряда сотен. В единице разряда десятков помещается 10 единичек, в единице разряда сотен — 100, а в единице разряда единиц — всего одна единица.
Как правильно записать количество единиц (или палочек) в виде числа?
Пусть у нас есть тринадцать палочек:
| | | | | | | | | | | | |
которые мы можем обозначить в виде тринадцати единичек:
1111111111111
Чтобы записать их в виде десятичного числа мы должны сначала попытаться отделить какое-то количество единиц, кратное 10. Так как ни одной сотни или тысячи мы выделить из тринадцати единиц не можем, то начать мы можем только с десятков. Отделяем первый десяток:
1111111111 _ 111
Мы разделили нашу группу единиц на один десяток (потому что больше там просто нет) и оставшиеся единички.
Больше десятков мы выделить не можем.
Поэтому теперь нам просто надо записать количество единичек (3) в разряде единиц, а количество десятков (1) — в разряде десятков:
1 3
Мы получим записанное в десятичной позиционной системе счисления число тринадцать:
13
которое обозначает тринадцать единиц.
Как проверить, что мы записали все правильно? Да очень просто! Достаточно каждую цифру, стоящую в соответствующем разряде умножить на значение единицы этого разряда и сложить то, что получилось:
1 х 10 + 3 х 1 = 13
Обратите внимание, что так как у нас десятичная система (по числу пальцев на руках), то в качестве её основания выбрано именно число 10.
То есть, 10 — это основание степени для определения значений разрядов:
Так единица разряда единиц = 10 в 0 степени, или 1,
единица разряда десятков = 10 в 1 степени, или 10
единица разряда сотен = 10 в 0 степени, или 100
единица разряда тысяч = 10 в 0 степени, или 1000
и так далее.
Таким образом, значение единицы разряда определяется основанием системы счисления и номером разряда.
Чтобы узнать количество единиц в числе, записанном в данной позиционной системе счисления (не важно какой) нужно цифру каждого разряда умножить на значение единицы каждого разряда и сложить все, что получится. Например, для десятичной системы :
367 = 3*100 + 6*10 + 7*1
Итак:
- Единица — это абстрактный объект, который соответствует одному целому реальному объекту при подсчете количества этих объектов.
- Все единицы в математике абсолютно равны между собой.
- Число — это способ записи количества единиц.
- Мы используем десятичную позиционную систему счисления.
- Позиция цифры в записи числа называется разрядом.
- Цифра — это знак, обозначающий количество единиц того разряда числа, где она записана.
Поделиться:
Пишите нам в комментариях, какие элементарные или кажущиеся таковыми, вопросы из различных областей человеческих знаний вам хотелось бы разобрать: